Pembahasan Matematika IPA UN 2014 No. 6 - 10.

Pembahasan soal Matematika IPA UN 2014 nomor 6 sampai dengan nomor 10 tentang:

• persamaan kuadrat,
• fungsi kuadrat,
• persamaan linear,
• lingkaran, dan
• suku banyak.

Soal No. 6 tentang Persamaan Kuadrat

Akar-akar persamaan x² + (p + 1)x − 18 = 0 adalah α dan β. Jika α + 2β = 0 dan p ≥ 0, nilai p = ....

A.   0
B.   1
C.   2
D.   3
E.   4

Pembahasan

Sifat khusus akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui pada soal:

α + 2β = 0
        α = −2β ..... (1)

Sifat umum perkalian akar-akar persamaan kuadrat.

α . β = c/a
        = −18 .... (2)

Sifat umum perkalian akar-akar persamaan kuadrat ini hukumnya wajib dihafal. Demikian juga sifat umum penjumlahan akar-akar persamaan kuadrat berikut ini.

α + β = −b/a
         = −p − 1 ..... (3)

Sekarang kita substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2). Diperoleh:

    α . β = −18
−2β . β = −18
    −2β² = −18
        β² = 9
          β = ±3

Selanjutnya kita substitusikan persamaan (1) ke persamaan (3). Diperoleh:

    α + β = −p − 1
−2β + β = −p − 1
        −β = −p − 1
          p = β − 1

Substitusi β = ±3 diperoleh: 

p = ±3 − 1

Ini berarti: 

p = 3 − 1
   = 2 

p = −3 − 1
   = −4

Karena soal menyebutkan bahwa nilai p harus positif (p ≥ 0), maka untuk p = −4 tidak memenuhi.

Jadi, nilai p yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut adalah 2 (C).

Soal No. 7 tentang Fungsi Kuadrat

Persamaan kuadrat x² − (k − 1)x − k + 4 = 0 tidak mempunyai akar-akar real. Batas-batas nilai k yang memenuhi adalah ....

A.   −5 < k < 3
B.   −3 < k < 5
C.   k < −3 atau k > 5
D.   k ≤ −3 atau k ≥ 5
E.   k ≤ −5 atau k ≥ 5

Pembahasan

Tidak mempunyai akar-akar real berarti grafiknya melayang di atas atau di bawah sumbu x. Grafiknya tidak memotong atau tidak menyinggung sumbu x. Fungsi kuadrat seperti ini nilai diskriminannya negatif.

                                    D < 0
                          b² − 4ac < 0
(k − 1)² − 4 . 1 . (−k + 4) < 0
     k² − 2k + 1 + 4k − 16 < 0
                   k² + 2k − 15 < 0
                  (k + 5)(k − 3) < 0

Kalau bentuknya sudah seperti ini, kita buat garis bilangan. Jika koefisien kuadratnya positif (seperti penghitungan di atas, koefisien k² positif) maka di sebelah kiri dan kanan berharga positif sedangkan di tengah berharga negatif. Jika koefisien kuadratnya negatif, upayakan menjadi positif dengan mengalikan −1.

Karena pertidaksamaannya bertanda kurang dari (<) maka hasil penyelesaiannya adalah yang bertanda negatif.

Jadi, batas-batas nilai k yang memenuhi adalah −5 < k < 3 (A).

Perdalam materi soal no. 6 dan 7 di Pembahasan Matematika IPA UN: Persamaan dan Fungsi Kuadrat.

Soal No. 8 tentang Persamaan Linear

Rini membeli 2 kg jeruk dan 2 kg apel dengan harga Rp41.000,00, sedangkan Ajeng membeli 4 kg jeruk dan 3 kg apel dengan harga Rp71.000,00. Widya membeli 3 kg jeruk dan 2 kg apel pada toko yang sama. Widya membayar dengan uang Rp100.000,00. Uang kembalian yang diterima Widya adalah ....

A.   Rp49.000,00
B.   Rp49.500,00
C.   Rp50.000,00
D.   Rp50.500,00
E.   Rp51.000,00

Pembahasan

Soal persamaan linear itu memang mudah, tetapi butuh ketelitian dan kesabaran. Seringkali kita mengerjakannya sampai panjang lebar. Namun bila kita lebih jeli lagi, soal jenis ini memang benar-benar mudah. Kita buat permisalan terlebih dahulu. Santai saja. 

x : jeruk 
y : apel

Rini     : 2x + 2y = 41.000
Ajeng  : 4x + 3y = 71.000
Widya : 3x + 2y = ?

Umumnya, untuk mendapatkan nilai 3x + 2y, kita menentukan terlebih dahulu nilai x dan y-nya. Untuk soal-soal tertentu (biasanya soal UN dan SBMPTN), nilai sasaran tersebut bisa langsung diperoleh hanya dengan sekali eliminasi. Coba perhatikan baik-baik eliminasi berikut ini!

4x + 3y = 71.000 |× 1| 4x + 3y = 71.000
2x + 2y = 41.000 |× ½|  x  +  y = 20.500
                                    ——————— −
                                    3x + 2y = 50.500

Karena Widya membayar dengan uang Rp100.000,00 maka uang kembalian yang diterima Widya adalah:

Rp100.000,00 − Rp50.500 = Rp49.500,00

Jadi, uang kembalian yang diterima Widya adalah Rp49.500,00 (B).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika UN: Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear.

Soal No. 9 tentang Lingkaran

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran (x − 3)² + (y + 2)² = 5 yang sejajar garis 2x + y = 10 adalah ....

A.   y = 2x + 1
B.   y = 2x − 1
C.   y = 2x + 9
D.   y = −2x + 9
E.   y = −2x − 11

Pembahasan

Perhatikan persamaan lingkaran dan bentuk umumnya berikut ini!

    (x − 3)² + (y + 2)² = 5
⇔ (x − h)² + (y − k)² = r² 

Berdasarkan bentuk umum tersebut diperoleh data:

• h = 3
• k = −2
• r = √5

Sedangkan pernyataan 'sejajar dengan garis' artinya mempunyai nilai gradien yang sama dengan garis tersebut. Mari kita tentukan gradien garis tersebut.

2x + y = 10 
        y = −2x + 10
    ⇔ y = mx + c

Sehingga diperoleh nilai m = −2.

Persamaan garis singgung lingkaran dengan nilai gradien m dirumuskan:



y + 2 = −2x + 6 ± 5
      y = −2x + 4 ± 5

Berarti ada dua garis singgung pada lingkaran yang sejajar garis tersebut, yaitu:

1. y₁ = −2x + 4 + 5 
    = −2x + 9
2. y₂ = −2x + 4 − 5 
    = −2x − 1

Jadi, salah satu persamaan garis singgung lingkaran tersebut adalah opsi (D).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Lingkaran.

Soal No. 10 tentang Suku Banyak

Suku banyak berderajat 3, jika dibagi (x² + 2x − 3) bersisa (3x − 4) dan jika dibagi (x² − x − 2) bersisa (2x + 3). Suku banyak tersebut adalah ....

A.   x³ − x² − 2x − 1
B.   x³ + x² − 2x − 1
C.   x³ + x² + 2x − 1
D.   x³ + 2x² − x − 1
E.   x³ + 2x² + x + 1

Pembahasan

Misalkan suku banyak tersebut adalah f(x). Pembagi yang pertama adalah x² + 2x − 3 dengan sisa 3x − 4. Pembagi ini bisa difaktorkan menjadi (x + 3)(x − 1). Artinya, untuk x = −3 dan x = 1 nilai f(x) = 3x − 4. 

f(−3) = 3(−3) − 4
         = −13 

f(1) = 3.1 − 4
       = −1

Sampai di sini sebenarnya soal sudah bisa dijawab dengan cara trial and error (coba-coba pada semua opsi jawaban). Caranya, masukkan x = −3 pada opsi jawaban kemudian cari yang menghasilkan −13, atau gunakan angka yang lebih sederhana, yaitu x = 1, kemudian cari yang menghasilkan −1. Kita coba untuk x = 1.

A.   x³ − x² − 2x − 1 = 1 − 1 − 2 − 1
                                  = −3
B.   x³ + x² − 2x − 1 = 1 + 1 − 2 − 1
                                 = −1
C.   x³ + x² + 2x − 1 = 1 + 1 + 2 − 1
                                  = 3
D.   x³ + 2x² − x − 1 = 1 + 2 − 1 − 1
                                  = 1
E.   x³ + 2x² + x + 1 = 1 + 2 + 1 + 1
                                 = 5

Dari trial and error tersebut, kita dapatkan jawabannya adalah B. Sekarang kita buktikan dengan cara yang semestinya. Kita gunakan pembagi yang kedua. f(x) dibagi x² − x − 2 sisanya 2x + 3. Misalkan hasil baginya adalah ax + b, diperoleh:

f(x) = (x² − x − 2)(ax + b) + 2x + 3   ..... (1)

Kita aplikasikan f(−3) = −13 dan f(1) = −1 pada persamaan (1).

f(−3) = 10(−3a + b) − 3 = −13
                    −30a + 10b = −10
                           −3a + b = −1    ..... (2)

f(1) = −2(a + b) + 5 = −1
                  −2a − 2b = −6
                         a + b = 3             ..... (3)

Eliminasi persamaan (2) dan (3) untuk mendapatkan nilai a dan b.

−3a + b = −1
    a + b = 3
————— −
      −4a = −4
          a = 1  → b = 2

Susbtitusi a = 1 dan b = 2 pada persamaan (1) diperoleh:

f(x) = (x² − x − 2)(ax + b) + 2x + 3
       = (x² − x − 2)(x + 2) + 2x + 3
       = x³ − x² − 2x + 2x² − 2x − 4 + 2x + 3
       = x³ + x² − 2x − 1

Jadi, jadi suku banyak berderajat 3 yang dimaksud adalah opsi (B).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Suku Banyak.

Simak Pembahasan Soal Matematika IPA UN 2014 selengkapnya.

No. 01 - 05	No. 21 - 25
No. 06 - 10	No. 26 - 30
No. 11 - 15	No. 31 - 35
No. 16 - 20	No. 36 - 40

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.