Pembahasan Matematika IPA UN 2015 No. 6 - 10

Pembahasan soal Matematika IPA Ujian Nasional 2015 nomor 6 sampai dengan nomor 10 tentang:

• persamaan kuadrat baru,
• jenis akar persamaan kuadrat,
• persamaan linear,
• persamaan lingkaran, dan
• garis singgung lingkaran.

Soal No. 6 tentang Akar Persamaan Kuadrat Baru

Persamaan kuadrat x² + 6x − 5 = 0 akar-akarnya α dan β. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya (α + 2) dan (β +2) adalah ....

A.   x² + 2x − 13 = 0
B.   x² + 2x + 13 = 0
C.   x² − 2x − 13 = 0
D.   x² + 2x − 21 = 0
E.   x² − 2x − 21 = 0

Pembahasan

Cara 1

Persamaan kuadrat x² + 6x − 5 = 0 akar-akarnya α dan β, diperoleh

α + β = −b/a = −6
α . β = c/a = −5

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (α + 2) dan (β +2) adalah 

x² − px + q = 0

dengan p = (α + 2) + (β +2)  dan q = (α + 2) . (β +2)

Mari kita tentukan nilai p dan q. 

p = (α + 2) + (β +2)
   = (α + β) + 4
   = −6 + 4
   = −2 

q = (α + 2) . (β +2)
   = αβ + 2α + 2β + 4
   = αβ + 2(α + β) + 4
   = −5 + 2.(−6) + 4
   = −13

Dengan demikian persamaan kuadra baru tersebut adalah 

x² − px + q = 0 
x² + 2x − 13 = 0

Cara 2 

Akar-akar persamaan kuadrat lama: α dan β
Akar-akar persamaan kuadrat baru : (α + 2) dan (β + 2)

Misal    x = α + 2
maka    α = x − 2

Persamaan kuadrat lama: x² + 6x − 5 = 0
Persamaan kuadrat baru : α² + 6α − 5 = 0

Substitusi α = x − 2 pada persamaan kuadrat baru:

α² + 6α − 5 = 0
(x − 2)² + 6(x − 2) − 5 = 0 
x² − 4x + 4 + 6x − 12 − 5 = 0 
x² + 2x − 13 = 0

Jadi, persamaan kuadrat baru dari persamaan kuadrat tersebut adalah x² + 2x − 13 = 0 (A).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Persamaan dan Fungsi Kuadrat.

Soal No. 7 tentang Jenis Akar Persamaan Kuadrat

Agar persamaan kuadrat (m − 5)x² − 4mx + m − 2 = 0 mempunyai dua akar real, batas-batas nilai m yang memenuhi adalah ....

A.   m > 10/3 atau m < 1
B.   m ≥ 10/3 atau m ≤ −1
C.   m ≥ 1 atau m ≤ −10/3
D.   m > 10/3 atau m < −1
E.    m > 1 atau m < −10/3

Pembahasan

Dari persamaan kuadrat (m − 5)x² − 4mx + m − 2 = 0 diperoleh data: 

a = m − 5, 
b = −4m, 
c = m − 2.

Syarat agar persamaan kuadrat tersebut mempunyai akar real adalah  

D ≥ 0 
b² − 4ac ≥ 0
(−4m)² − 4(m − 5)(m − 2) ≥ 0
16m² − 4(m² − 7m + 10) ≥ 0
12m² + 28m − 40) ≥ 0
3m² + 7m − 10) ≥ 0
(3m + 10) (m − 1) ≥ 0

Sekarang tinggal membuat garis bilangannya.

Berdasarkan garis bilangan pertidaksamaan tersebut diperoleh 

m ≥ 1 atau m ≤ −10/3

Jadi, batas-batas nilai m agar persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar real adalah opsi (C).

Soal No. 8 tentang Persamaan Linear

Di sebuah toko buah, Malik, Aziz, Sulasmini, dan Ani berbelanja. Malik membeli 2 kg jeruk, 1½ kg mangga, dan 1 kg jambu seharga Rp72.000,00. Aziz membeli 3 kg jeruk, ½ kg mangga, dan ½ kg jambu seharga Rp61.000,00. Sulasmini membeli 1 kg jeruk, 2 kg mangga, dan 2 kg jambu seharga Rp79.000,00. Jika Ani membeli ½ kg jeruk, 1½ kg mangga, dan 1 kg jambu maka ia harus membayar sebesar ....

A.   Rp49.500,00
B.   Rp47.500,00
C.   Rp35.000,00
D.   Rp32.500,00
E.   Rp29.500,00

Pembahasan

Kita misalkan terlebih dahulu. 

x : jeruk 
y : mangga 
z : jambu

Selanjutnya kita buat persamaan matematikanya.

Malik      : 2x + 1½y + z  = 72.000  ... (1)
Aziz        : 3x + ½y + ½z  = 61.000 ... (2)
Sulasmini : x + 2y + 2z = 79.000      ... (3)
Ani          : ½x + 1½y + z = ?

Perhatikan persamaan (2) dan (3). Koefisien y dan z pada kedua persamaan tersebut mempunyai perbandingan yang sama. Jadi dengan mengeliminasi kedua persamaan tersebut, dua variabel akan langsung tereliminasi.

Mari kita eliminasi. Persamaan (2) kita kalikan 4 sedangkan persamaan (3) kita biarkan apa adanya.

12x + 2y + 2z = 244.000 
    x + 2y + 2z =   79.000
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯  −
                11x = 165.000 
                    x =   15.000

Sekarang perhatikan persamaan matematika dari Malik dan Ani. Kedua persamaan tersebut mempunyai koefisien y dan z yang sama bukan? Berarti kita cukup melakukan substitusi x = 15.000 ke persamaan (1).

2 × 15.000 + 1½y + z = 72.000
                      1½y + z = 42.000

Sekarang kita sudah dapat menentukan harga yang harus dibayar oleh Ani.

   ½x + 1½y + z
= ½ × 15.000 + 42.000
= 7.500 + 42.000
= 49.500

Jadi, Ani harus membayar buah-buahan yang dibelinya sebesar Rp49.500,00 (A).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika UN: Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear.

Soal No. 9 tentang Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (−1, 2) dan menyinggung garis x + y + 7 = 0 adalah ....

A.   x² + y² + 2x + 4y − 27 = 0
B.   x² + y² + 2x − 4y − 27 = 0
C.   x² + y² + 2x − 4y − 32 = 0
D.   x² + y² − 4x − 2y − 32 = 0
E.   x² + y² − 4x + 2y − 7 = 0

Pembahasan

Perhatikan gambar di bawah ini!

Jarak tegak lurus titik pusat ke garis tersebut merupakan jari-jari lingkaran. Rumus jarak titik ke garis adalah


  

Persamaan lingkaran tersebut adalah

(x − x₁)²  + (y − y₁)²  = r²
(x + 1)²  + (y − 2)²  = (4√2)² 
x²  + 2x + 1 + y² − 4y + 4 = 32 
x²  + y² + 2x − 4y − 27 = 0

Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah opsi (B).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Lingkaran.

Soal No. 10 tentang Garis Singgung Lingkaran

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x² + y² + 2x − 6y − 10 = 0 yang tegak lurus garis x + 2y + 1 = 0 adalah ....

A.   y = 2x − 14
B.   y = 2x − 11
C.   y = 2x + 5
D.   y = 2x + 9
E.   y = 2x + 15

Pembahasan

Persamaan lingkaran x² + y² + 2x − 6y − 10 = 0 mempunyai bentuk umum 

x² + y² + 2Ax + 2By + C = 0

Berdasarkan bentuk umum tersebut diperoleh

2A = 2
  A = 1

2B = −6
  B = −3

C = −10

Pusat dan jari-jari lingkaran tersebut adalah

pusat (−A, −B)
pusat (−1, 3)   → (h, k)


  

Misal gradien garis x + 2y + 1 = 0 adalah m₁, maka 

m₁ = −a/b
      = −1/2

Garis singgung lingkaran tegak lurus dengan garis tersebut sehingga perkalian gradien garis (m₁) dengan gradien garis singgung lingkaran (m₂) sama dengan −1. 

m₁  . m₂ = −1
−½ . m₂ = −1 
         m₂ = 2

Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat (h, k), jari-jari r, dan gradien m₂ adalah


 
y − 3 = 2x + 2 ± 10 
      y = 2x + 5 ± 10 
y = 2x + 15   dan   y = 2x − 5

Jadi, salah satu persamaan garis singgung lingkaran tersebut adalah y = 2x + 15 (E).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Lingkaran.

Simak Pembahasan Soal Matematika IPA UN 2015 selengkapnya.

No. 01 - 05	No. 21 - 25
No. 06 - 10	No. 26 - 30
No. 11 - 15	No. 31 - 35
No. 16 - 20	No. 36 - 40

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.