Sunday, 28 February 2016

Pembahasan Matematika IPA UN: Persamaan dan Fungsi Kuadrat

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional SMA-IPA bidang studi Matematika dengan materi pembahasan Persamaan dan Fungsi Kuadrat.

Soal Persamaan dan Fungsi Kuadrat UN 2011

Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + mx + 16 = 0 adalah α dan β. Jika α = 2β dan α, β positif maka nilai m adalah ….
A.   −12
B.   −6
C.   6
D.   8
E.   12



Pembahasan

Dari persamaan kuadrat 2x2 + mx + 16 = 0 diperoleh:
a = 2
b = m
c = 16
Perkalian akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah:
α.β = c/a
Susbstitusi α = 2β diperoleh:
2β.β = 16/2
  2β2 = 8
    β2 = 4
      β = ±2
Karena disebutkan bahwa α dan β bernilai positif maka
β = 2
Sementara itu, penjumlahan akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah:
  α + β = −b/a
2β + β = −m/2
       3β = −m/2
Substitusi β = 2 diperoleh:
3 × 2 = −m/2
      6 = −m/2
     m = −12 
Jadi, nilai m adalah −12 (A).

Soal Persamaan dan Fungsi Kuadrat UN 2012

Persamaan kuadrat x2 + 4px + 4 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Jika x1x22 + x12 x2 = 32 maka nilai p adalah ….
A.   −4
B.   −2
C.   2
D.   4
E.   8

Pembahasan

Nilai koefisien persamaan kuadrat x2 + 4px + 4 = 0 adalah:
a = 1
b = 4p
c = 4
Penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah:
x1 + x2 = −b/a
             = −4p
x1 . x2 = c/a
            = 4
Nah, sekarang kita masuk ke pertanyaan.
x1x22 + x12 x2 = 32
 x1x2 (x1 + x2) = 32
         4 . (−4p) = 32
               −16p = 32
                     p = −2
Jadi, nilai p adalah −2 (B).

Soal Persamaan dan Fungsi Kuadrat UN 2015




Persamaan kuadrat x2 + 7x + 1 = 0 akar-akarnya α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (α + 4) dan (β + 4) adalah ….
A.   x2 + 7x − 43 = 0
B.   x2 + 7x − 11 = 0
C.   x2x + 23 = 0
D.   x2x + 13 = 0
E.   x2x 11 = 0

Pembahasan

Cara 1

Nilai koefisien persamaan kuadrat x2 + 7x + 1 = 0 adalah:
a = 1
b = 7
c = 1
Penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah:
α + β = −b/a
          = −7
α . β = c/a
        = 1
Jika persamaan kuadrat baru tersebut dinyatakan
x2px + q = 0
maka
p = (α + 4) + (β + 4)
   = α + β + 8
   = −7 + 8
   = 1
q = (α + 4)(β + 4)
   = αβ + 4α + 4β + 16
   = αβ + 4(α + β) + 16
   = 1 + 4(−7) + 16
   = −11
Dengan demikian, persamaan kuadrat baru tersebut adalah
x2px + q = 0
x2x − 11 = 0

Cara 2 

Karena akar-akar persamaan kuadrat baru merupakan akar-akar persamaan kuadrat lama yang dijumlahkan dengan bilangan yang sama, yaitu (α + 4) dan (β + 4), maka persamaan kuadrat baru tersebut dapat ditentukan secara sederhana sebagai berikut:
Misal    x = α + 4
maka     α = x − 4
Persamaan kuadrat lama : x2 + 7x + 1 = 0
Persamaan kuadrat baru : α2 + 7α + 1 = 0

Substitusi α = x − 4 pada persamaan kuadrat baru:

                         α2 + 7α + 1 = 0 
       (x − 4)2 + 7(x − 4) + 1 = 0
x2 − 8x + 16 + 7x − 28 + 1 = 0
                         x2x − 11 = 0

Jadi, persamaan kuadrat baru yang dimaksud adalah opsi (E).

Soal Persamaan dan Fungsi Kuadrat UN 2014

Persamaan kuadrat x2 − (k − 1)x + 4 = 0 tidak mempunyai akar real. Batas-batas nilai k yang memenuhi adalah ….
A.   −5 < k < 3
B.   −3 < k < 5
C.   k < −3 atau k > 5
D.   k ≤ −3 atau k ≥ 5
E.   k ≤ −5 atau k ≥ 3

Pembahasan

Nilai koefisien persamaan kuadrat x2 − (k − 1)x + 4 = 0 adalah:
a = 1
b = −(k − 1)
   = −k + 1
c = 4

Tidak mempunyai akar real berarti akar-akarnya imajiner. Syarat persamaan kuadrat yang berakar imajiner adalah:
                        D < 0
              b2 − 4ac < 0
(−k + 1)2 − 4.1.4 < 0
k2 − 2k + 1 − 16 < 0
       k2 − 2k − 15 < 0
     (k + 3)(k − 5) < 0 
Karena tanda pertidaksamaannya '<' maka nilai k berada di antara −3 dan 5.
∴ −3 < k < 5
Jadi, batas-batas nila k yang memenuhi adalah −3 < k < 5 (B).

Soal Persamaan dan Fungsi Kuadrat UN 2013

Nilai a yang menyebabkan fungsi kuadrat f(x) = (a − 1)x2 + 2ax + a + 4 definit positif adalah ….
A.   a < 4/3
B.   a < 1
C.   a > 1
D.   a > 4/3
E.   1 < a < 4/3

Pembahasan

Definit positif berarti nilai f(x) selalu positif untuk semua harga x. Hal ini bisa terjadi jika grafik fungsi f(x) tidak memotong sumbu x dan terletak di atas sumbu x sehingga tidak mempunyai akar real (D < 0)
                                 D < 0
(2a)2 − 4(a − 1)(a + 4) < 0
    4a2 − 4(a2 + 3a − 4) < 0
  4a2 − 4a2 − 12a + 16 < 0
                    −12a + 16 < 0
                            −12a < −16
Masing-masing ruas dibagi −1 sehingga tanda pertidaksamaannya berubah.
3a > 4
  a > 4/3
Jadi, nilai a agar fungsi kuadrat tersebut definit positif adalah a > 4/3 (D).

Pembahasan soal Persamaan dan Fungsi Kuadrat yang lain bisa disimak di:
Pembahasan Matematika IPA UN 2014 No. 6 dan 7
Pembahasan Matematika IPA UN 2015 No. 6 dan 7
Pembahasan Matematika IPA UN 2016 No. 5
Pembahasan Matematika IPA UN 2016 No. 6

Simak juga, Pembahasan Matematika IPA UN: Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear.

Demikian, berbagi pengetahuan dengan Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.



No comments:

Post a Comment

Maaf, komentar yang tidak berhubungan dengan konten, banyak mengandung singkatan kata, atau mengandung link aktif, tidak kami tayangkan.

Komentar Anda akan kami moderasi sebelum kami tayangkan. Centang 'Notify me' agar Anda mendapat pemberitahuan lewat email bahwa komentar Anda sudah ditayangkan