Pembahasan Matematika IPA UN: Titik Stasioner dan Nilai Ekstrem [Aplikasi Turunan]

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional SMA-IPA bidang studi Matematika dengan materi pembahasan Titik Stasioner dan Nilai Ekstrem.

Soal tentang Titik Stasioner dan Nilai Ekstrem UN 2013

Dua bilangan bulat m dan n memenuhi hubungan 2m + n = −40. Nilai minimum dari p = m² + n² adalah ….

A.   405
B.   395
C.   320
D.   260
E.   200

Pembahasan

Nilai p akan mencapai minimum saat turunan fungsi p sama dengan nol. Fungsi p pada soal di atas mengandung dua variabel sehingga harus dijadikan satu variabel terlebih dahulu agar bisa diturunkan.

2m + n = −40
          n = −2m − 40 ... (1)

Selanjutnya kita substitusikan persamaan (1) pada fungsi p. 

p = m² + n²
   = m² + (−2m − 40)²
   = m² + 4m² + 160m + 1600
   = 5m² + 160m + 1600

Nilai p mencapai minimum saat p' = 0. 

              p' = 0
10m + 160 = 0
           10m = −160
                m = −16 

Substitusi m = −16 ke persamaan (1) diperoleh: 

n = −2m − 40
   = −2×(−16) − 40
   = 32 − 40
   = −8

Dengan demikian nilai p adalah: 

p = m² + n²
   = (−16)² + (−8)²
   = 256 + 64
   = 320

Jadi, nilai minimum dari fungsi p adalah 320 (C).

Soal tentang Titik Stasioner dan Nilai Ekstrem UN 2010

Suatu proyek akan diselesaikan dalam x hari. Jika biaya proyek per hari adalah B = 2x + (1000/x) − 40 dalam ribuan rupiah maka biaya proyek minimum dalam x hari sama dengan ….

A.   Rp550.000,00
B.   Rp800.000,00
C.   Rp880.000,00
D.   Rp900.000,00
E.   Rp950.000,00

Pembahasan

Biaya proyek per hari adalah: 

B = 2x + (1000/x) − 40

Biaya proyek selama x hari adalah: 

B(x) = x[2x + (1000/x) − 40]
        = 2x² − 40x + 1000

Biaya proyek minimum dalam x hari tercapai ketika turunan B(x) sama dengan nol.

     B'(x) = 0
4x − 40 = 0
         4x = 40
           x = 10

Dengan demikian, biaya proyek minimum terjadi saat x = 10. 

B(x) = 2x² − 40x + 1000 
B(10) = 2×10² − 40×10 + 1000
          = 200 − 400 + 1000
          = 800     (dalam ribuan)

Jadi, biaya proyek minimum dalam x hari adalah Rp800.000,00 (B).

Soal tentang Titik Stasioner dan Nilai Ekstrem UN 2012

Suatu perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya (5x² − 10x + 30) dalam ribuan rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp50.000,00 tiap unit maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah ….

A.   Rp10.000,00
B.   Rp20.000,00
C.   Rp30.000,00
D.   Rp40.000,00
E.   Rp50.000,00

Pembahasan

Biaya produksi untuk x unit barang adalah: 

B = x(5x² − 10x + 30)
   = 5x³ − 10x² + 30x

Harga penjualan untuk x unit adalah: 

H = 50x   (dalam ribuan)

Laba perusahaan tersebut adalah harga jual dikurangi biaya produksi. 

L = H − B
   = 50x − (5x³ − 10x² + 30x)
   = −5x³ + 10x² + 20x

Laba maksimum terjadi saat L' = 0.

                           L' = 0
−15x² + 20x + 20 = 0
         3x² − 4x − 4 = 0
     (3x + 2)(x − 2) = 0
       x = −⅔ atau x = 2

Nilai x = −⅔ tidak memenuhi karena jumlah barang tidak mungkin negatif sehingga laba maksimum tercapai saat x = 2. 

L = −5x³ + 10x² + 20x
   = −5×2³ + 10×2² + 20×2
   = −40 + 40 + 40
   = 40    (dalam ribuan)

Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah Rp40.000,00 (D).

Soal tentang Titik Stasioner dan Nilai Ekstrem UN 2011

Suatu perusahaan menghasilkan produk x dengan biaya sebesar (9000 + 1000x + 10x²) rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan tersebut habis terjual dengan harga Rp5.000,00 untuk satu produknya maka laba maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah ….

A.   Rp149.000,00
B.   Rp249.000,00
C.   Rp391.000,00
D.   Rp609.000,00
E.   Rp757.000,00

Pembahasan

Biaya produksi untuk x unit barang adalah: 

B = 9000 + 1000x + 10x²

Harga penjualan untuk x unit adalah: 

H = 5000x  

Laba perusahaan tersebut adalah harga jual dikurangi biaya produksi. 

L = H − B
   = 5000x − (9000 + 1000x + 10x²)
   = −10x² + 4000x − 9000

Laba maksimum terjadi saat L' = 0. 

                 L' = 0
−20x + 4000 = 0
               20x = 4000
                   x = 200

Dengan demikian, laba maksimum tercapai saat x = 200. 

L = −10x² + 4000x − 9000
   = −10×200² + 4000×200 − 9000
   = −400.000 + 800.000 − 9000
   = 391.000

Jadi, laba maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah Rp391.000,00 (C).

Soal tentang Titik Stasioner dan Nilai Ekstrem UN 2014

Diketahui fungsi g(x) = ⅓ x³ − (A²/9)x + 1,  A konstanta. Jika f(x) = g(2x − 1) dan f naik pada x ≤ 0 atau x ≥ 1, nilai maksimum relatif g adalah ....

A.   7/3
B.   5/3
C.   1/3
D.   −1/3
E.   −5/3

Pembahasan

Kita tentukan terlebih dahulu fungsi f(x). 

f(x) = g(2x − 1)
       = ⅓(2x − 1)³ − 1/9 A²(2x − 1) + 1
       = ⅓(2x − 1)³ − 2/9 A² x + 1/9 A² + 1

f naik pada x ≤ 0 atau x ≥ 1, artinya f' = 0 saat x = 0 atau x = 1. 

f' = 0
2(2x − 1)² − 2/9 A² = 0
                      2/9 A² = 2(2x − 1)²
                            A² = 9(2x − 1)² 
         x = 0    →  A² = 9(2.0 − 1)²
                                 = 9
         x = 1    →  A² = 9(2.1 − 1)²
                                 = 9

Nilai A² ini kita gunakan untuk mendapatkan fungsi g. Dengan melakukan substitusi A² = 9, kita peroleh fungsi g berikut ini. 

g(x) = ⅓ x³ − (A²/9)x + 1 
g(x) = ⅓ x³ − x + 1

Nilai g maksimum terjadi saat g' = 0. 

       g' = 0 
x² − 1 = 0 
      x² = 1 
        x = ±1

Terdapat dua nilai x, yaitu +1 dan −1.  Berarti yang satu menghasilkan g maksimum, satunya lagi menghasilkan g minimum. Mari kita periksa. 

g(x) = ⅓ x³ − x + 1 

g(−1) = −⅓ + 1 + 1 = 5/3  (maksimum) 
g(1)   = ⅓ − 1 + 1 = 1/3     (minimum)

Jadi, nilai maksimum relatif fungsi g adalah 5/3 (B).

Pembahasan soal Titik Stasioner dan Nilai Ekstrem yang lain bisa disimak di:
Pembahasan Matematika IPA UN 2013 No. 30
Pembahasan Matematika IPA UN 2014 No. 29
Pembahasan Matematika IPA UN 2015 No. 31
Pembahasan Matematika IPA UN 2016 No. 29 dan 30
Pembahasan Matematika IPA UN 2017 No. 21 dan 22
Pembahasan Matematika IPA UN 2018 No. 17 - 19
Pembahasan Matematika IPA UN 2019 No. 17 - 19
Pembahasan Matematika IPA UN 2019 No. 40
Pembahasan Matematika IPA UN 2019 (2) No. 17 - 19
Pembahasan Matematika IPA UN 2019 (2) No. 40

Simak juga:
Pembahasan Matematika IPA UN: Turunan Fungsi

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.