Pembahasan Matematika No. 1 - 5 TKD Saintek SBMPTN 2015 Kode Naskah 502

Pembahasan soal Tes Kemampuan Dasar Sains dan Teknologi (TKD Saintek) Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SBMPTN) tahun 2015 kode naskah 502 subtes Matematika nomor 1 sampai dengan nomor 5 tentang:

• lingkaran, 
• trigonometri, 
• vektor, 
• transformasi geometri, dan 
• dimensi tiga.

Soal No. 1 tentang Lingkaran

Misalkan titik A dan B pada lingkaran 

x² + y² − 6x − 2y + k = 0

sehingga garis singgung lingkaran di titik A dan B berpotongan di C(8, 1). Jika luas segiempat yang melalui A, B, C, dan pusat lingkaran adalah 12 maka k = ….

A.   −1
B.   0
C.   1
D.   2
E.   3

Pembahasan

Bentuk umum persamaan lingkaranx² + y² − 6x − 2y + k = 0 adalah x² + y² + Ax + By + C = 0.Berdasarkan bentuk umum ini diperoleh:

A = −6
B = −2
C = k

pusat lingkaran: (−½A, −½B)
                        (−½×(−6), −½×(−2))
                        (3, 1)

Gambar ilustrasi untuk soal di atas adalah:

Luas segiempat OACB = 12 sehingga luas segitiga AOC = 6. Sedangkan segitiga AOC adalah segitiga siku-siku dengan panjang sisi miring = 5. Dengan demikian dapat dipastikan panjang sisi OA = 3 dan sisi AC = 4 (triple Pythagoras).

Nah, kita sudah mendapatkan nilai jari-jari lingkaran tersebut, yaitu r = OA = 3. Sekarang kita gunakan rumus jari-jari lingkaran untuk mendapatkan nilai k.

Jadi, nilai k pada persamaan lingkaran tersebut adalah 1 (C).

Soal No. 2 tentang Trigonometri

Jika tan⁡(2x + 45°) = a dan tan⁡(x + 30°) = b, ab ∉ {1, −1, √2, −√2}
maka tan(3x + 75°) tan⁡(x + 15°) = ….

Pembahasan

Kita buat permisalan dulu agar tampak lebih sederhana.

Misal: A = 2x + 45°    → tan A = a
          B = x + 30°      → tan B = b

Sehingga: A + B = 3x + 75°
                 A − B = x + 15°

Sekarang kita masuk ke bagian pertanyaan:

Dengan demikian, dengan menggunakan rumus (a + b)(a − b) = a² − b², diperoleh:

Jadi, nilai tan(3x + 75°) tan⁡(x + 15°) adalah opsi (C).

Soal No. 3 tentang Vektor

Misalkan A(t² + 1, t) dan B(1, 2) sehingga panjang vektor proyeksi OA terhadap OB kurang dari 4/√5, maka nilai t yang mungkin adalah ….

A.   t < −1 atau t > 3
B.   t < −3 atau t > 1
C.   −3 < t < 1
D.   −1 < t < 3
E.   1 < t < 3

Pembahasan

Panjang vektor proyeksi OA terhadap OB kurang dari 4/√5:

 
     t² + 2t + 1 < 4 
     t² + 2t − 3 < 0
  (t + 3)(t − 1) < 0

Karena koefisien t² positif maka tanda pertidaksamaan "<" mempunyai daerah penyelesaian di antara t = −3 dan t = 1. Diperoleh:

−3 < t < 1

Jadi, nilai t yang mungkin adalah −3 < t < 1 (C).

Soal No. 4 tentang Transformasi Geometri

Pencerminan garis y = −x + 2 terhadap garis y = 3 menghasilkan garis ….

A.   y = x + 4
B.   y = −x + 4
C.   y = x + 2
D.   y = x − 2
E.   y = −x − 4

Pembahasan

Pencerminan terhadap garis y = k dirumuskan sebagai:

P(x, y) —→ P'(x, 2k − y)

Sehingga diperoleh: 

x' = x
y' = 2k − y     (k = 3)
    = 2×3 − y
    = 6 − y
 
Dengan demikian, hasil pencerminan garis y = −x + 2 adalah:

      y' = −x' + 2
6 − y = −x + 2
    −y = −x − 4
      y = x + 4

Jadi, pencerminan garis y = −x + 2 terhadap garis y = 3 menghasilkan garis y = x + 4 (A).

Soal No. 5 tentang Dimensi Tiga

Pada kubus ABCD.EFGH, P adalah pad EH dengan EP : PH = 1 : 2 dan titik Q pada GH dengan GQ : QH = 1 : 2. Perpanjangan AP dan CQ berpotongan di perpanjangan DH di titik R.

Jika panjang rusuk kubus adalah 6 maka volume ACD.PQH adalah ….

A.   46
B.   52
C.   54
D.   76
E.   81

Pembahasan

Perhatikan segitiga DCR!

Segitiga CDR sebangun dengan segitiga HQR sehingga diperoleh perbandingan:


6x = 24 + 4x
2x = 24
  x = 12

Volume bangun ACD.PQH merupakan pengurangan dari volume limas R.ACD dengan limas R.PQH. Mari kita tentukan volume masing-masing limas tersebut!

Volume limas R.ACD (V₁) 

V₁ = ⅓ × L_a × t
     = ⅓ × L ΔACD × DR
     = ⅓ × ½ . 6 . 6 × 18
     = 108

Volume limas R.PQH (V₂) 

V₂ = ⅓ × L_a × t
     = ⅓ × L ΔPQH × HR
     = ⅓ × ½ . 4 . 4 × 12
     = 32

Dengan demikian, volume ACD.PQH adalah: 

V = V₁ − V₂
   = 108 − 32
   = 76

Jadi, volume bangun ruang ACD.PQH adalah 76 satuan volume (D).

Simak Pembahasan Soal TKD Saintek SBMPTN 2015 selengkapnya.

No. 01 - 05 (Mat)	No. 31 - 35 (Kim)
No. 06 - 10 (Mat)	No. 36 - 40 (Kim)
No. 11 - 15 (Mat)	No. 41 - 45 (Kim)
No. 16 - 20 (Fis)	No. 46 - 50 (Bio)
No. 21 - 25 (Fis)	No. 51 - 55 (Bio)
No. 26 - 30 (Fis)	No. 56 - 60 (Bio)

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.