Pembahasan Matematika IPA UN: Luas Daerah [Aplikasi Integral]

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) bidang studi Matematika SMA-IPA dengan materi pembahasan Luas Daerah (aplikasi integral), meliputi daerah yang dibatasi oleh kurva dan garis serta kurva dan sumbu x.

Soal tentang Luas Daerah UN 2014

Luas daerah arsiran pada gambar dapat dinyatakan dengan rumus ….

A.   ₀∫² [(7 − x) − (x² − 2x + 1)] dx
B.   ₀∫³ [(7 − x) − (x² − 2x + 1)] dx
C.   ₀∫² [(x² − 2x + 1) − (7 − x)] dx
D.   ₀∫³ [(x² − 2x + 1) − (7 − x)] dx
E.   ₀∫¹ (x² − 2x + 1) dx + ₁∫³ (7 − x) dx

Pembahasan

Secara keseluruhan, daerah yang diarsir pada gambar di atas dibatasi oleh:

sumbu y : x = 0
garis       : y₁ = 7 − x
kurva      : y₂ = x² − 2x + 1

Adapun batas x, sebelah kiri dibatasi oleh sumbu y atau x = 0 dan sebelah kanan dibatasi oleh titik potong antara garis dan kurva, yaitu x = 3. Batas x ini akan menjadi batas integrasi.

x₁ = 0 dan x₂ = 3

Sedangkan batas y, sisi atas dibatasi oleh garis y₁ dan sisi bawah dibatasi oleh kurva y₂. Batas y ini digunakan untuk menentukan fungsi yang akan diintegral, yaitu fungsi atas dikurangi fungsi bawah.

y₁ − y₂

Dengan demikian, luas daerah yang diarsir dirumuskan:

L = _x1∫^x₂ (y₁ − y₂) dx
   = ₀∫³ [(7 − x) − (x² − 2x + 1)] dx

Jadi, luas daerah arsiran pada gambar dapat dinyatakan dengan rumus pada opsi (B).

Soal tentang Luas Daerah UN 2013

Luas daerah yang diarsir pada gambar dapat dinyatakan dengan rumus ….

A.   L = ₋₁∫² (x + 2 + x²) dx
B.   L = ₋₁∫² (x − 2 − x²) dx
C.   L = ₋₁∫² (x + 2 − x²) dx
D.   L = ₋₂∫¹ (−x + 2 + x²) dx
E.   L = ₋₂∫¹ (−x + 2 + x²) dx

Pembahasan

Pada gambar di atas, batas integrasinya merupakan titik potong antara kurva y₁ = x² dan garis y₂ = x + 2. Titik potong kurva dan garis tersebut dapat dicari dengan cara menyamakan kedua fungsi tersebut.

                 y₁ = y₂
                 x² = x + 2
     x² − x − 2 = 0
(x + 1)(x − 2) = 0
x₁ = −1 dan x₂ = 2

Sisi atas daerah yang diarsir dibatasi oleh garis y₂ = x + 2 dan sisi bawah dibatasi oleh kurva y₁ = x². Sehingga fungsi yang akan diintegral adalah:

y₂ − y₁

Dengan demikian, luas daerah yang diarsir dirumuskan:

L = _x1∫^x₂ (y₂ − y₁) dx
   = ₋₁∫² [(x + 2) − x² ] dx
   = ₋₁∫² (x + 2 − x²) dx

Jadi, luas daerah yang diarsir pada gambar tersebut dapat dinyatakan dengan rumus pada opsi (C).

Soal tentang Luas Daerah UN 2011

Luas daerah yang dibatasi kurva y = 4 − x², y = −x + 2, dan 0 ≤ x ≤ 2 adalah ….

A.   8/3 satuan luas
B.   10/3 satuan luas
C.   14/3 satuan luas
D.   16/3 satuan luas
E.   26/3 satuan luas

Pembahasan

Luas daerah tersebut berada pada interval 0 ≤ x ≤ 2. Artinya, daerah tersebut dibatasi x₁ = 0 dan x₂ = 2.

Sekarang perhatikan kurva y₁ = 4 − x². Kurva tersebut terbuka ke bawah (karena koefisien x²-nya negatif). Karena terbuka ke bawah maka posisinya pasti ada di atas.

Perhatikan gambar berikut!

Pada daerah arsiran, y₁ berada di atas y₂ sehingga:

y₁ − y₂ = 4 − x² − (−x + 2)
            = 4 − x² + x − 2
            = −x² + x + 2

Dengan demikian, luas daerah yang diarsir adalah:

Sekarang kita masukkan batas-batasnya. Batas x = 0 tidak perlu dimasukkan karena pasti akan menghasilkan nol.

= −1/3∙2³ + 1/2∙2³ + 2∙2
= −8/3 + 2 + 4
= −8/3 + 6
= −8/3 + 18/3
= 10/3

Jadi, luas daerah yang dimaksud adalah 10/3 satuan luas (B).

Soal tentang Luas Daerah UN 2012

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² + 3x + 4 dan y = 1 − x adalah ….

A.   2/3 satuan luas
B.   4/3 satuan luas
C.   7/4 satuan luas
D.   8/3 satuan luas
E.   15/3 satuan luas

Pembahasan

Batas integrasi daerah tersebut adalah titik potong antara kurva y₁ = x² + 3x + 4 dan garis y₂ = 1 − x.

Mari kita cari titik potong tersebut.

                 y₁ = y₂
   x² + 3x + 4 = 1 − x
   x² + 4x + 3 = 0
(x + 3)(x + 1) = 0
x₁ = −3 dan x₂ = −1

Kurva y₁ terbuka ke atas (karena koefisien x²-nya positif), berarti posisi kurva y₁ berada di bawah garis y₁. Sehingga fungsi yang diintegral adalah:

y₂ − y₁ = 1 − x − (x² + 3x + 4)
 = 1 − x − x² − 3x − 4)
= −x² − 4x − 3

Dengan demikian, luas daerah yang dimaksud adalah:

Selanjutnya kita masukkan batas-batasnya.


= −1/3 (−1 − (−27)) − 2(1 − 9) − 3(−1 − (−3))
= −26/3 + 16 − 6
= −26/3 + 10
= −26/3 + 30/3
= 4/3

Jadi, luas daerah yang dimaksud adalah 4/3 satuan luas (B).

Soal tentang Luas Daerah UN 2015

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = −x³ + x² + 6x dan sumbu x adalah ….

A.   20 7/12 satuan luas
B.   21 1/12 satuan luas
C.   21 5/12 satuan luas
D.   21 7/12 satuan luas
E.   22 5/12 satuan luas

Pembahasan

Kita tentukan dulu titik potong antara kurva y₁ = −x³ + x² + 6x dan sumbu x atau y₂ = 0.

                    y₁ = y₂
  −x³ + x² + 6x = 0
    x³ − x² − 6x = 0
   x(x² − x − 6) = 0
x(x + 2)(x − 3) = 0
x = 0, x = −2, dan x = 3

Grafik kurva tersebut dapat digambarkan sebagai berikut:



Daerah yang diarsir pada gambar di atas terbagi menjadi dua. Artinya, untuk mendapatkan luas daerah tersebut kita harus melakukan integral dua kali.

Luas daerah pertama, sebut saja L₁, berada di antara x = −2 dan x = 0. Daerah L₁ bernilai negatif karena berada di bawah sumbu x.

Untuk itu, perlu kita kalikan negatif sebelumnya atau batasnya kita tukar agar bernilai positif.

Batas x = 0 tidak perlu dimasukkan karena pasti akan menghasilkan nol.

= −1/4 (−2)⁴ + 1/3 (−2)³ + 3(−2)²
= −4 − 8/3 + 12
= 8 − 8/3
= 24/3 − 8/3
= 16/3
= 5 1/3

Sedangkan daerah yang kedua, sebut saja L₂, berada di antara x = 0 dan x = 3.



Dengan hanya memasukkan betas x=3 diperoleh:

= −1/4∙3⁴ + 1/3∙3³ + 3∙3²
= −81/4 + 9 + 27
= 36 − 81/4
= 144/4 − 81/4
= 63/4
= 15 3/4

Dengan demikian, luas seluruh daerah tersebut adalah:

Jadi, luas daerah tersebut adalah 21 1/12 satuan luas (B).

Pembahasan soal Luas Daerah yang lain bisa disimak di:
Pembahasan Matematika IPA UN 2013 No. 34
Pembahasan Matematika IPA UN 2014 No. 34
Pembahasan Matematika IPA UN 2015 No. 36
Pembahasan Matematika IPA UN 2016 No. 35

Simak juga, Pembahasan Matematika IPA UN: Volume Benda Putar [Aplikasi Integral]

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.