 |
| Penerapan fungsi kuadrat dalam kehidupan nyata |
Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) SMA-IPA bidang studi Matematika dengan materi pembahasan Fungsi Kuadrat yang meliputi:
- persamaan grafik fungsi kuadrat,
- grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x,
- grafik fungsi kuadrat menyinggung garis, serta
- grafik fungsi kuadrat definit positif.
Soal Fungsi Kuadrat UN 2008
Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik minimum (1, 2) dan melalui titik (2, 3) adalah ….
A. y = x2 − 2x + 1
B. y = x2 − 2x + 3
C. y = x2 + 2x − 1
D. y = x2 + 2x + 1
E. y = x2 − 2x − 3
A. y = x2 − 2x + 1
B. y = x2 − 2x + 3
C. y = x2 + 2x − 1
D. y = x2 + 2x + 1
E. y = x2 − 2x − 3
Pembahasan
Persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik balik minimum atau puncak (p, q) dirumuskan sebagai:y = a(x − p)2 + q
Puncak grafik fungsi kuadrat adalah (1, 2) sehingga diperoleh:
y = a(x − 1)2 + 2
Grafik fungsi kuadrat tersebut melalui titik (2, 3). Titik ini bisa kita substitusikan untuk mendapatkan nilai a.
3 = a(2 − 1)2 + 2
3 = a + 2
a = 1
Dengan demikian, persamaan fungsinya adalah:
y = 1(x − 1)2 + 2
= x2 − 2x + 1 + 2
= x2 − 2x + 3
Jadi, persamaan grafik fungsi kuadrat tersebut adalah y = x2 − 2x + 3 (B).
Soal Fungsi Kuadrat UN 2011
Grafik y = px2 + (p + 2)x − p + 4 memotong sumbu x di dua titik. Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah ….
A. p < −2 atau p > −2/5
B. p < 2/5 atau p > 2
C. p < −2 atau p >1 0
D. 2/5 < p < 2
E. 2 < p < 10
A. p < −2 atau p > −2/5
B. p < 2/5 atau p > 2
C. p < −2 atau p >1 0
D. 2/5 < p < 2
E. 2 < p < 10
Pembahasan
Koefisien fungsi y = px2 + (p + 2)x − p + 4 adalah:a = p
b = p + 2
c = −p + 4
Agar grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x di dua titik, diskriminan fungsi kuadrat tersebut harus bernilai positif.
D > 0
b2 − 4ac > 0
(p + 2)2 − 4p(−p + 4) > 0
p2 + 4p + 4 + 4p2 − 16p > 0
5p2 − 12p + 4 > 0
(5p − 2)(p − 2) > 0
Diperoleh titik ekstrem:
p = 2/5 atau p = 2
Karena tanda pertidaksamaannya ‘>’ maka interval terletak di sebelah kiri 2/5 atau di sebelah kana 2.
p < 2/5 atau p > 2
Jadi, batas-batas nilai p yang memenuhi adalah opsi (B).
Soal Fungsi Kuadrat UN 2009
Jika grafik fungsi f(x) = x2 + px + 5 menyinggung garis 2x + y = 1 dan p > 0 maka nilai p yang memenuhi adalah ….
A. –6
B. –4
C. –2
D. 2
E. 4
A. –6
B. –4
C. –2
D. 2
E. 4
Pembahasan
Misal:Parabola : y1 = x2 + px + 5
Garis : y2 = 1 − 2x
Jika parabola menyinggung garis maka di titik singgungnya parabola dan garis mempunyai nilai yang sama.
y1 = y1
x2 + px + 5 = 1 − 2x
x2 + px + 2x + 4 = 0
x2 + (p + 2)x + 4 = 0
Syarat kedua agar keduanya saling menyinggung adalah diskriminan persamaan di atas harus sama dengan nol.
D = 0
b2 − 4ac = 0
(p + 2)2 − 4∙1∙4 = 0
p2 + 4p + 4 − 16 = 0
p2 + 4p − 12 = 0
(p + 6)(p − 2) = 0
p = −6 atau p = 2
Karena soal memberi syarat p > 0 maka nilai p yang memenuhi adalah 2.
Jadi, nilai p yang memenuhi agar parabola menyinggung garis tersebut adalah 2 (D).
Soal Fungsi Kuadrat UN 2010
Grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 + bx +4 menyinggung garis y = 3x + 4. Nilai b yang memenuhi adalah ….
A. −4
B. −3
C. 0
D. 3
E. 4
A. −4
B. −3
C. 0
D. 3
E. 4
Pembahasan
Karena bersinggungan, maka parabola dan garis mempunyai nilai yang sama di titik singgung.y1 = y1
x2 + bx + 4 = 3x + 4
x2 + bx − 3x = 0
x2 + (b − 3)x = 0
Selain itu, dua fungsi yang bersinggungan akan mempunyai diskriminan sama dengan nol.
D = 0
b2 − 4ac = 0
(b − 3)2 − 4∙1∙0 = 0
(b − 3)2 = 0
b − 3 = 0
b = 3
Jadi, nilai b yang memenuhi agar parabola dan garis tersebut bersinggungan adalah 3 (D).
Soal Fungsi Kuadrat UN 2013
Nilai a yang menyebabkan fungsi kuadrat f(x) = (a − 1)x2 + 2ax + a + 4 definit positif adalah ….
A. a < 4/3
B. a < 1
C. a > 1
D. a > 4/3
E. 1 < a < 4/3
A. a < 4/3
B. a < 1
C. a > 1
D. a > 4/3
E. 1 < a < 4/3
Pembahasan
Koefisien fungsi f(x) = (a − 1)x2 + 2ax + a + 4 adalah:a = a − 1
b = 2a
c = a + 4
Definit positif berarti nilai f(x) selalu positif untuk semua harga x. Hal ini bisa terjadi jika grafik fungsi f(x) tidak memotong sumbu x dan terletak di atas sumbu x sehingga tidak mempunyai akar real (D < 0).
D < 0
b2 − 4ac < 0
(2a)2 − 4(a − 1)(a + 4) < 0
4a2 − 4(a2 + 3a − 4) < 0
4a2 − 4a2 − 12a + 16 < 0
−12a + 16 < 0
−12a < −16
Masing-masing ruas dibagi −4 sehingga tanda pertidaksamaannya berubah.
3a > 4
a > 4/3
Jadi, nilai a agar fungsi kuadrat tersebut definit positif adalah a > 4/3 (D).
Pembahasan soal lain tentang Fungsi Kuadrat bisa disimak di:
Pembahasan Matematika IPA UN 2013 No. 6
Pembahasan Matematika IPA UN 2016 No. 6
Pembahasan Matematika IPA UN 2017 No. 5
Pembahasan Matematika IPA UN 2018 No. 4
Pembahasan Matematika IPA UN 2019 No. 5
Pembahasan Matematika IPA UN 2019 (2) No. 1
Simak juga, Pembahasan Matematika IPA UN: Persamaan Kuadrat.
Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf di sini.
Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.
No comments:
Post a Comment
Maaf, komentar yang tidak berhubungan dengan konten, banyak mengandung singkatan kata, atau mengandung link aktif, tidak kami tayangkan.
Komentar Anda akan kami moderasi sebelum kami tayangkan. Centang 'Notify me' agar Anda mendapat pemberitahuan lewat email bahwa komentar Anda sudah ditayangkan