Pembahasan Matematika IPA UN: Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma

Fungsi Eksponen

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) SMA-IPA bidang studi Matematika dengan materi pembahasan Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma.

Soal Pertidaksamaan Eksponen UN 2014

Himpunan penyelesaian dari 2^2x − 7 ∙ 2^x > 8 adalah ….

A.   {x│x < −1, x ∈ R}
B.   {x│x < −2, x ∈ R}
C.   {x│x > 3, x ∈ R}
D.   {x│x > 4, x ∈ R}
E.   {x│x > 8, x ∈ R}

Pembahasan

Misalkan p = 2^x sehingga 2^2x = p².

   2^2x − 7 ∙ 2^x > 8
   p² − 7p − 8 > 0
(p + 1)(p − 8) > 0

Karena tanda pertidaksamaannya ‘>’ maka penyelesaiannya berada di sebelah kiri −1 atau di sebelah kanan 8.

 p < −1    atau    p > 8
2^x < −1    atau   2^x > 8

Penyelesaian 2^x < −1 tidak memenuhi karena hasil perpangkatan tidak mungkin negatif. Sehingga kita tinggal menyelesaikan 2^x > 8.

2^x > 8
2^x > 2³
  x > 3

Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan eksponen tersebut adalah opsi (C).

Soal Pertidaksamaan Eksponen UN 2012

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3^2x+1 + 9 − 28 ∙ 3^x > 0, x ∈ R adalah ….

A.   x > −1 atau x > 2
B.   x < −1 atau x < 2
C.   x < 1 atau x > 2
D.   x < −1 atau x > 2
E.   x > −1 atau x < −2

Pembahasan

Langkah pertama, kita pecah bilangan berpangkat 3^2x+1 menjadi 3^2x ∙ 3¹.

   3^2x+1 + 9 − 28 ∙ 3^x > 0
3^2x ∙ 3¹ + 9 − 28 ∙ 3^x > 0

Misalkan p = 3^x kemudian kita urutkan sehingga menjadi:

 3p² − 28p + 9 > 0
(3p − 1)(p − 9) > 0

Karena tanda pertidaksamaannya ‘>’ maka penyelesaiannya berada di sebelah kiri 1/3 atau di sebelah kanan 9.

 p < 1/3    atau    p > 9
3^x < 3⁻¹   atau   3^x > 3²
  x < −1    atau     x > 2

Jadi, nilai x yang memenuhi pertidaksamaan eksponen di atas adalah opsi (D).

Soal Pertidaksamaan Eksponen UN 2017

Himpunan penyelesaian dari 9^x − 54 > 3^x+1 adalah ….

A.   {x│x > 9, x ∈ R}
B.   {x│x < −3, x ∈ R}
C.   {x│x > 4, x ∈ R}
D.   {x│x < −6, x ∈ R}
E.   {x│x > 2, x ∈ R}

Pembahasan

Langkah pertama kita pindah ruas sehingga ruas kanan menjadi nol

9^x − 3^x+1 − 54 > 0

Selanjutnya pangkat dari 3 kita pecah dengan rumus a^m+n = a^m ∙ aⁿ.

9^x − 3^x . 3¹ − 54 > 0

Misalkan p = 3^x sehingga 9^x = p².

 p² − 3p − 54 > 0
(p + 6)(p − 9) > 0

Karena tanda pertidaksamaannya ‘>’ maka penyelesaiannya berada di sebelah kiri −6 atau di sebelah kanan 9.

 p < −6   atau    p > 9
3^x < −6   atau   3^x > 9

Penyelesaian 3^x < −6 tidak memenuhi karena hasil perpangkatan tidak mungkin negatif. Sekarang kita lanjutkan untuk 3^x > 9.

3^x > 9
3^x > 3²
  x > 2

Jadi, himpunan penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan eksponen di atas adalah opsi (E).

Soal Pertidaksamaan Logaritma UN 2013

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
²log(x + 2) + ²log(x − 2) ≤ ²log 5 adalah ….

A.   {x│x ≥ −2}
B.   {x│x ≥ 2}
C.   {x│x ≥ 3}
D.   {x│2< x ≤ 3}
E.   {x│−2 < x ≤ 2}

Pembahasan

Langkah pertama dalam menyelesaikan soal pertidaksamaan logaritma adalah menentukan syaratnya. Bilangan atau fungsi yang di-log harus bernilai positif.

x + 2 > 0
      x > −2 … (1)

x − 2 > 0
      x > 2   … (2)

Berdasarkan syarat di atas, opsi A, B, dan E sudah pasti salah.

Mari kita selesaikan soal di atas. Pertama, kugunakan rumus penjumlahan logaritma log⁡ a + log b = log ⁡ab.

²log(x + 2) + ²log(x − 2) ≤ ²log 5
              ²log(x + 2)(x − 2) ≤ ²log 5

Karena bilangan pokok logaritma ruas kiri dan kanan sama, kita dapatkan pertidaksamaan:

(x + 2)(x − 2) ≤ 5
            x² − 4 ≤ 5
            x² − 9 ≤ 0
(x + 3)(x − 3) ≤ 0

Karena tanda pertidaksamaannya ‘≤’ maka penyelesaiannya berada di antara −3 dan 3.

−3 ≤ x ≤ 3 … (3)

Dari ketiga pertidaksamaan yang kita peroleh, kita buat garis bilangan.

Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan logaritma tersebut adalah {x│2< x ≤ 3} (D).

Soal Pertidaksamaan Logaritma UN 2014

Penyelesaian pertidaksamaan
³log⁡ x ∙ ^1−2xlog ⁡9 > 2 − ^1−2xlog⁡ 9 adalah ….

A.   0 < x < 1/5
B.   0 < x < 1/2
C.   0 < x < 2/5
D.   1/5 < x < 1/2
E.   2/5 < x < 1/2

Pembahasan

Sebelum menyelesaikan soal pertidaksamaan logaritma, sebaiknya menentukan syaratnya terlebih dahulu.

Bilangan atau fungsi yang di-log harus positif.

x > 0          … (1)

Bilangan pokok logaritma harus positif tetapi tidak sama dengan 1.

1 − 2x > 0
    −2x > −1
      2x < 1
        x < 1/2 … (2)

1 − 2x ≠ 1
    −2x ≠ 0
        x ≠ 0    … (3)

Sekarang kita selesaikan soalnya. Yang mengandung logaritma kita pindah ke ruas kiri.

³log⁡ x ∙ ^1−2xlog ⁡9 > 2 − ^1−2xlog⁡ 9
³log⁡ x ∙ ^1−2xlog ⁡9 + ^1−2xlog⁡ 9 > 2


Karena kedua suku di ruas kiri mengandung ^1−2xlog ⁡9, kita jadikan satu suku.

^1−2xlog ⁡9 (³log⁡ x + 1) > 2

Selanjutnya kita ubah 9 menjadi 3² kemudian kita gunakan rumus log aⁿ = n log ⁡a. Pada saat yang sama kita ubah angka 1 menjadi ³log 3 kemudian kita gunakan rumus penjumlahan logaritma.

^1−2xlog 3² (³log⁡ x + ³log 3) > 2
         2 ∙ ^1−2xlog 3 (³log⁡ 3x) > 2
                  ^1−2xlog 3 . ³log⁡ 3x > 1

Kita manfaatkan rumus ^alog⁡ b ∙ ^blog⁡ c = ^alog⁡ c sehingga menjadi:

^1−2xlog 3x > 1

Angka 1 kita ubah menjadi ^1−2xlog (1 − 2x).

^1−2xlog 3x > ^1−2xlog (1 − 2x)

Nah, karena bilangan pokok ruas kiri dan kanan sudah sama, maka diperoleh pertidaksamaan:

3x > 1 − 2x
5x > 1
  x > 1/5      … (4)

Dari keempat pertidaksamaan yang kita peroleh, kita buat garis bilangan.

Jadi, penyelesaian pertidaksamaan logaritma tersebut adalah 1/5 < x < 1/2 (D).

Pembahasan soal yang lain tentang Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma bisa disimak di:
Pembahasan Matematika IPA UN 2013 No. 19
Pembahasan Matematika IPA UN 2014 No. 18 dan 19
Pembahasan Matematika IPA UN 2015 No. 20
Pembahasan Matematika IPA UN 2016 No. 4
Pembahasan Matematika IPA UN 2017 No. 3

Simak juga:
Pembahasan Matematika IPA UN: Perpangkatan (Eksponen)
Pembahasan Matematika IPA UN: Logaritma 

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.