Pembahasan Matematika IPA UN: Barisan dan Deret

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional SMA-IPA bidang studi Matematika dengan materi pembahasan Barisan dan Deret.

Soal Barisan dan Deret UN 2011

Suku ke-4 dan ke-9 suatu barisan aritmetika berturut-turut adalah 110 dan 150. Suku ke-30 barisan aritmetika tersebut adalah ….

A.   308
B.   318
C.   326
D.   344
E.   354

Pembahasan

Cara pertama adalah  dengan menggunakan rumus U_n = a + (n − 1)b. 

U₉ = a + 8b = 150
U₄ = a + 3b = 110
———————— −
                5b = 40
                  b = 8 

b = 8 →   a + 3b = 110
                 a + 24 = 110
                          a = 86

∴  U₃₀ = a + 29b
            = 86 + 29×8
            = 86 + 232
            = 318

Cara kedua adalah dengan menggunakan rumus U_n = U_k + (n − k)b. Dengan menggunakan rumus ini, kita tidak harus mencari nilai a, cukup dengan suku yang diketahui pada soal, U₄ atau U₉. Sedangkan nilai b dapat dicari dengan rumus cepat berikut ini.

(9 − 4)b = 150 − 110
          5b = 140
            b = 8 

U_n = U_k + (n − k)b
U₃₀ = U₉ + (30 − 9).8
       = 150 + 21×8
       = 150 + 168
       = 318

Jadi, suku ke-30 barisan aritmetika tersebut adalah 318 (B).

Soal Barisan dan Deret UN 2013

Diketahui suku ke-4 dan suku ke-9 suatu deret aritmetika berturut-turut adalah 15 dan 30. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah ....

A.   960
B.   690
C.   460
D.  390
E.   360

Pembahasan

Kita cari nilai a dan b dengan memanfaatkan rumus U_n = a + (n − 1)b. 

U₉ = a + 8b = 30
U₄ = a + 3b = 15
———————— −
                5b = 15
                  b = 3 

b = 3 →   a + 3b = 15
                   a + 9 = 15
                          a = 6

Jumlah n suku pertama dapat dicari dengan rumus: 

S_n = ½ n[2a + (n − 1)b] 
S₂₀ = ½×20(12 + 19×3)
      = 10(12 + 57)
      = 690

Jadi, jumlah 20 suku pertama deret aritmetika tersebut adalah 690 (B).

Soal Barisan dan Deret UN 2012

Barisan geometri dengan U₇ = 384 dan rasio = 2. Suku ke-10 barisan tersebut adalah ….

A.   1.920
B.   3.072
C.   4.052
D.   4.608
E.   6.144

Pembahasan

Menentukan suku ke-n pada deret geometri dapat menggunakan rumus: 

U_n = U_k . r^n−k 
U₁₀ = U₇ . 2¹⁰⁻⁷
       = 384 . 2³
       = 384 . 8
       = 3072

Jadi, suku kesepuluh barisan geometri tersebut adalah 3.072 (B).

Soal Barisan dan Deret UN 2014

Jumlah konsumsi gula pasir oleh penduduk suatu kelurahan pada tahun 2013 sebesar 1.000 kg dan selalu meningkat dua kali lipat setiap tahun. Total konsumsi gula penduduk tersebut pada tahun 2013 sampai dengan tahun 2018 adalah ….

A.   62.000 kg
B.   63.000 kg
C.   64.000 kg
D.   65.000 kg
E.   66.000 kg

Pembahasan

Data-data yang dapat kita peroleh dari soal: 

a = 1.000 
r = 2 
n = 6  (dari tahun 2013 - 2018)

Total konsumsi gula penduduk dapat dicari dengan rumus:



      = 1.000(64 − 1)
      = 63.000

Jadi, total konsumsi gula penduduk dalam kurun waktu tersebut adalah 63.000 kg (B).

Soal Barisan dan Deret UN 2015

Sebuah bola dipantulkan dari ketinggian 12 meter. Setiap kali memantul, bola mencapai ketinggian 2/3 tinggi sebelumnya. Panjang lintasan bola sampai berhenti adalah ….

A.   40 meter
B.   50 meter
C.   60 meter
D.   70 meter
E.   80 meter

Pembahasan

Perhatikan ilustrasi berikut ini!

Mula-mula bola dijatuhkan dari ketinggian t₁ = 12 m, kemudian bola memantul setinggi t₂. 

t₂ = 2/3 t₁
    = 2/3 × 12
    = 8

Mulai dari ketinggian 8 m, bola mengalami lintasan naik dan lintasan turun yang sama panjang. Dengan demikian, panjang seluruh lintasan adalah t₁ ditambah dua deret tak hingga dengan suku awal a = t₂ dan rasio r = 2/3.

panjang lintasan   = t₁ + 2S_∞
                          
                          
                            = 12 + 48
                            = 60

Jadi, panjang lintasan bola sampai berhenti adalah 60 meter (C).

Pembahasan soal Barisan dan Deret yang lain bisa disimak di:
Pembahasan Matematika IPA UN 2013 No. 21 dan 22
Pembahasan Matematika IPA UN 2014 No. 20
Pembahasan Matematika IPA UN 2014 No. 21
Pembahasan Matematika IPA UN 2015 No. 22 dan 23
Pembahasan Matematika IPA UN 2016 No. 15
Pembahasan Matematika IPA UN 2016 No. 16 dan 17
Pembahasan Matematika IPA UN 2017 No. 17 dan 18
Pembahasan Matematika IPA UN 2018 No. 12 - 14
Pembahasan Matematika IPA UN 2019 No. 11 - 13
Pembahasan Matematika IPA UN 2019 (2) No. 6 - 8.
Pembahasan matematika IPA UN 2019 (2) No. 37

Simak juga, Pembahasan Matematika IPA UN: Limit Fungsi.

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.