Pembahasan Matematika IPA UN 2014 No. 16 - 20

Pembahasan soal Matematika UN 2014 program studi IPA nomor 16 sampai dengan nomor 20 tentang:

• proyeksi vektor,
• transformasi geometri,
• pertidaksamaan eksponen,
• pertidaksamaan logaritma, dan
• deret aritmetika.

Soal No. 16 tentang Proyeksi Vektor

Diketahui vektor a = 3i − 4j + pk dan b = 2i + 2j − 3k. Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 4/√17, nilai p = ....

A.   −2
B.   −1
C.   1
D.   2
E.   3

Pembahasan

Jika panjang proyeksi vektor a terhadap b dinotasikan |c| maka proyeksi skalar tersebut dirumuskan:

   


Bagian penyebutnya bisa dicoret karena sama. Selanjutnya, tinggal mengoperasikan pembilangnya saja.

  4 = 6 − 8 − 3p
  4 = −2 − 3p
3p = −6 
  p = −2

Jadi, nilai p pada proyeksi vektor tersebut adalah -2 (A).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Proyeksi Vektor.

Soal No. 17 tentang Transformasi Geometri

Persamaan bayangan lingkaran x² + y² = 4 bila dicerminkan terhadap garis x = 2 dan dilanjutkan dengan translasi  adalah ....

A.   x² + y² − 2x − 8y + 13 = 0
B.   x² + y² + 2x − 8y + 13 = 0
C.   x² + y² − 2x + 8y + 13 = 0
D.   x² + y² + 2x + 8y + 13 = 0
E.   x² + y² + 8x − 2y + 13 = 0

Pembahasan

Pencerminan (refleksi) dan translasi adalah transformasi yang bersifat isometri, yaitu transformasi yang hanya mengalami perubahan posisi tanpa mengubah bentuk dan ukuran. Untuk lingkaran, yang mengalami perubahan adalah titik pusatnya sedangkan jari-jarinya tetap.

Lingkaran x² + y² = 4 mempunyai titik pusat P(0, 0) dan jari-jari r = 2.

Pencerminan titik pusat P(0, 0) terhadap x = h.




Kemudian hasil pencerminan tersebut dilanjutkan dengan translasi.




Dengan demikian, bayangan akhir titik pusat lingkaran tersebut adalah (1, 4). Persamaan lingkarannya adalah:

             (x − h)² + (y − k)² = r²
             (x − 1)² + (y − 4)² = 4 
x² − 2x + 1 + y² − 8y + 16 = 4 
      x² + y² − 2x − 8y + 13 = 0

Jadi, persamaan bayangan lingkaran tersebut adalah opsi (A).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Transformasi Geometri.

Soal No. 18 tentang Pertidaksamaan Eksponen

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan  9^x − 4 . 3^x+1 + 27 < 0 adalah ....

A.   3 < x < 9
B.   1 < x < 2
C.   2 < x < 3
D.   x < 3 atau x > 9
E.   x < 1 atau x > 2

Pembahasan

Langkah pertama untuk menyelesaikan soal di atas adalah dengan menyamakan bilangan pokoknya.

    9^x − 4 . 3^x+1 + 27 < 0
3^2x − 4 . 3^x . 3¹ + 27 < 0

Selanjutnya dimisalkan 3^x = p kemudian difaktorkan. 

p² − 12p + 27 < 0
(p − 9)(p − 3) < 0

Langkah terakhir, kita buat garis bilangan untuk menentukan daerah penyelesaiannya.

Berdasarkan garis bilangan tersebut diperoleh:

   3 < p < 9
3¹ < 3^x < 3²
   1 < x < 2

Jadi, nilai x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah 1 < x < 2 (B).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika UN: Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma.

Soal No. 19 tentang Pertidaksamaan Logaritma

Penyelesaian pertidaksamaan ²log x . ^1−xlog 4 > 2 − ^1−xlog 4 adalah ....

A.   0 < x < 2/3
B.   0 < x < 1/3
C.   1/3 < x < 2/3
D.   1/3 < x < 1
E.   2/3 < x < 1

Pembahasan

Perhatikan bagian ruas kiri pada soal di atas! Perkalian logaritma itu bisa ditukar, baik bilangan basis maupun numeriknya. 

    ²log x . ^1−xlog 4
= ²log 4 . ^1−xlog x
= 2 . ^1−xlog x

Sekarang perhatikan bagian ruas kanan! Ubahlah 2 menjadi bentuk ^alog a².

Pada bagian ruas kanan di atas, bentuk pengurangan logaritma dijadikan bentuk pembagian dengan menggunakan rumus log a − log b = log (a/b). Kemudian pangkat 2-nya dipindahkan ke depan berdasarkan rumus log aⁿ = n log a.

Dengan demikian, pertidaksamaan logaritma di atas dapat disederhanakan menjadi:



Karena basis logaritmanya sudah sama, dapat disederhanakan lagi menjadi berikut ini. Jangan lupa, angka 2 di ruas kiri dan kanan dicoret dulu. 

x > (1 − x)/2
2x > 1 − x
3x > 1 
  x > 1/3

Tapi ini belum selesai. Logaritma mempunyai syarat-syarat tertentu. Tidak semua nilai dapat dilogaritmakan. Untuk menentukan syarat logaritma, perhatikan basis dan numerik logaritma pada soal, jangan pada hasil penyederhanaan.

Syarat basis:

I.  1 − x > 0    →    x < 1
II. 1 − x ≠ 1    →    x ≠ 1

Syarat numerik: 

x > 0

Sekarang kita buat garis bilangan. Masukan hasil penghitungan dan syarat-syarat pada garis bilangan.

Jadi, penyelesaian pertidaksamaan logaritma tersebut adalah 1/3 < x < 1 (D).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika UN: Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma.

Soal No. 20 tentang Deret Aritmetika

Tempat duduk gedung pertunjukan film diatur mulai dari baris depan dengan banyak baris di belakang lebih 4 kursi dari baris di depannya. Bila dalam gedung pertunjukan terdapat 15 baris kursi dan baris terdepan ada 20 kursi, kapasitas gedung pertunjukan tersebut adalah ....

A.   1.200 kursi
B.   800 kursi
C.   720 kursi
D.   600 kursi
E.   300 kursi

Pembahasan

Ini adalah deret aritmetika yang ditandai dengan pernyataan "baris di belakang lebih 4 kursi dari baris di depannya". Data-data yang diketahui pada soal tersebut adalah: 

b = 4 
n = 15 
a = 20

Sedangkan yang ditanyakan adalah banyak seluruh kursi atau S₁₅. 

S_n = ½n [2a + (n − 1)b] 
S₁₅ = ½ . 15[2.20 + (15 − 1)4] 
S₁₅ = 720

Jadi, kapasitas gedung pertunjukan tersebut adalah 720 kursi (C).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Barisan dan Deret.

Simak Pembahasan Soal Matematika IPA UN 2014 selengkapnya.

No. 01 - 05	No. 21 - 25
No. 06 - 10	No. 26 - 30
No. 11 - 15	No. 31 - 35
No. 16 - 20	No. 36 - 40

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.