Pembahasan Matematika IPA UN: Lingkaran

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) bidang studi Matematika SMA-IPA dengan materi pembahasan Lingkaran yang meliputi:

• persamaan lingkaran, 
• persamaan garis singgung lingkaran.

Soal tentang Lingkaran UN 2013

Persamaan lingkaran yang berpusat pada titik (4, −3) dan berdiameter 8 cm adalah ….

A.   x² + y² − 8x + 6y = 0
B.   x² + y² + 8x − 6y + 16 = 0
C.   x² + y² − 8x + 6y + 16 = 0
D.   x² + y² + 8x − 6y + 9 = 0
E.   x² + y² − 8x + 6y + 9 = 0

Pembahasan

Persamaan lingkaran dengan pusat (x₁, y₁) dan jari-jari r dirumuskan:

(x − x₁)² + (y − y₁)² = r²

Berdasarkan rumus di atas, persamaan lingkaran dengan pusat (4, −3) dan diameter 8 (jari-jari 4) adalah:

(x − 4)² + (y + 3)² = 4²
x² − 8x + 16 + y² + 6y + 9 = 16
x² + y² − 8x + 6y + 9 = 0

Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat pada titik (4, −3) dan berdiameter 8 cm adalah opsi (E).

Soal tentang Lingkaran UN 2015

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (1, −3) dan menyinggung garis x + 2y + 10 = 0 adalah ….

A.   x² + y² − 2x + 6y + 5 = 0
B.   x² + y² − 2x − 6y + 5 = 0
C.   x² + y² + 2x + 6y + 5 = 0
D.   x² + y² − 2x + 6y + 15 = 0
E.   x² + y² + 2x + 6y + 15 = 0

Pembahasan

Jarak antara titik pusat lingkaran (x₁, y₁) terhadap garis singgung ax + by + c = 0 merupakan jari-jari lingkaran tersebut yang dirumuskan:

Sehingga jari-jari yang berpusat di titik (1, −3) dan menyinggung garis x + 2y + 10 = 0 adalah:

Dengan demikian, persamaan lingkaran tersebut adalah:

(x − x₁)² + (y − y₁)² = r²
(x − 1)² + (y + 3)² = (√5)²
x² − 2x + 1 + y² + 6y + 9 = 5
x² + y² − 2x + 6y + 5 = 0

Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah opsi (A).

Soal tentang Lingkaran UN 2011

Persamaan garis singgung lingkaran
x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 di titik (7, 1) adalah ….

A.   3x − 4y − 41 = 0
B.   4x + 3y − 55 = 0
C.   4x − 5y − 53 = 0
D.   4x + 3y − 31 = 0
E.   4x − 3y − 40 = 0

Pembahasan

Persamaan garis singgung lingkaran dalam bentuk x² + y² + Ax + By + C = 0 di titik (x₁, y₁) dirumuskan sebagai:

x₁ x + y₁ y + ½A(x₁ + x) + ½B(y₁ + y) + C = 0

Dengan demikian, persamaan garis singgung lingkaran x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 di titik (7, 1) adalah:

7x + 1y − 3(7 + x) + 2(1 + y) − 12 = 0
     7x + y − 21 − 3x + 2 + 2y − 12 = 0
                                  4x + 3y − 31 = 0

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran tersebut adalah opsi (D).

Soal tentang Lingkaran UN 2014

Persamaan garis singgung pada lingkaran 2x² + 2y² + 4x − 8y − 8 = 0 yang sejajar dengan garis 5x + 12y − 15 = 0 adalah ….

A.   5x + 12y − 20 = 0 dan 5x + 12y + 58 = 0
B.   5x + 12y + 20 = 0 dan 5x + 12y − 58 = 0
C.   5x + 12y + 20 = 0 dan 5x + 12y + 58 = 0
D.   12x + 5y − 20 = 0 dan 5x + 12y − 58 = 0
E.   12x + 5y − 20 = 0 dan 12x + 5y + 20 = 0

Pembahasan

Persamaan lingkaran pada soal di atas dapat disederhanakan dengan cara membagi 2 pada setiap sukunya.

2x² + 2y² + 4x − 8y − 8 = 0
x² + y² + 2x − 4y − 4 = 0

Setelah itu, kita ubah bentuk umum tersebut menjadi bentuk baku dengan menggunakan kuadrat sempurna.

x² + y² + 2x − 4y = 4
(x + 1)² + (y − 2)² = 4 + 1² + (−2)²
(x + 1)² + (y − 2)² = 9

Bila dibandingkan dengan bentuk bakunya:

(x − x₁)² + (y − y₁)² = r²

Diperoleh:

x₁ = −1
y₁ = 2
r² = 9
r = 3

Sementara itu, persamaan garis singgung lingkaran tersebut sejajar dengan garis 5x + 12y − 15 = 0. Artinya, gradien garis singgung lingkaran sama dengan gradien garis tersebut.

Gradien garis 5x + 12y − 15 = 0 adalah:

m = −a/b
    = −5/12

Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m dirumuskan:

Kalikan semua suku dengan 12.

12y − 24 = −5(x + 1) ± 3∙13
12y − 24 = −5x −5 ± 39

Kita ambil nilai plus dan minus untuk persamaan di atas:

I.   12y − 24 = −5x −5 + 39
      5x + 12y − 58 = 0

II.  12y − 24 = −5x −5 − 39
      5x + 12y + 20 = 0

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran tersebut adalah opsi (B).

Soal tentang Lingkaran UN 2012

Lingkaran L ∶ (x + 1)² + (y − 3)² = 9
memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah ….

A.   x = 2 dan x = −4
B.   x = 2 dan x = −2
C.   x = −2 dan x = 4
D.   x = −2 dan x = −4
E.   x = 8 dan x = −10

Pembahasan

Titik potong antara lingkaran dan garis dapat dicari dengan cara substitusi y = 3 pada lingkaran L.

(x + 1)² + (y − 3)² = 9
(x + 1)² + (3 − 3)² = 9
                 (x + 1)² = 9
                     x + 1 = ±3
                           x = ±3 − 1
                          x₁ = 2
                          x₂ = −4

Sehingga titik potong lingkaran dan garis tersebut adalah:

(2, 3) dan (−4, 3)

Titik potong tersebut juga merupakan titik singgung lingkaran.

Persamaan garis singgung lingkaran (x + 1)² + (y − 3)² = 9 melalui (x₁, y₁) dirumuskan:

(x₁ + 1)(x + 1) + (y₁ − 3)(y − 3) = 9

Substitusi (2, 3) sebagai (x₁, y₁) diperoleh:

(2 + 1)(x + 1) + (3 − 3)(y − 3) = 9
                                  3(x + 1) = 9
                                       x + 1 = 3
                                             x = 2

Substitusi (−4, 3) sebagai (x₁, y₁) diperoleh:

(−4 + 1)(x + 1) + (3 − 3)(y − 3) = 9
                                   −3(x + 1) = 9
                                          x + 1 = −3
                                                x = −4

Jadi, garis singgung lingkaran tersebut adalah x = 2 dan x = −4 (A).

Pembahasan soal Lingkaran yang lain bisa disimak di:
Pembahasan Matematika IPA UN 2013 No. 9
Pembahasan Matematika IPA UN 2014 No. 9
Pembahasan Matematika IPA UN 2015 No. 9 dan 10
Pembahasan Matematika IPA UN 2016 No. 25
Pembahasan Matematika IPA UN 2017 No. 34 dan 35
Pembahasan Matematika IPA UN 2018 No. 27 dan 28

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.